SUCESIONES Y LIMITES

SUCESIONES Y LIMITES 

1. SUCESIÓN

1.1.- CONCEPTO DE SUCESIÓN

Pensemos por un momento en una carrera de atletismo: Cada atleta tiene un dorsal con un número que le ha sido asignado por la organización, pero ese número no tiene nada que ver con su orden de llegada. Es decir, el corredor nº 9 puede llegar el primero y el nº 3 puede llegar el décimo puesto. En este ejemplo relacionamos dos número distintos, por un lado tenemos el número que el corredor tiene a la espalda (lo llamaremos término) y por otro la posición que ocupa al final de la carrera (lo llamaremos índice). Supongamos una carrera con 10 corredores (dorsales del 1 al 10) y que llegan del siguiente modo: 4-5-2-8-9-1-10-7-8-3 Por lo que el primer corredor ha sido el número 4, el segundo el 5, el tercero el  2, ..., el décimo el 3. En realidad lo que tenemos es una ordenación de números (en este caso del 1 al 10 -los corredores-) debido a una regla: el orden de llegada. A esto se llama SUCESIÓN. 1.2.- DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Sucesión: Se llama sucesión de números reales a un conjunto de términos ordenados, de tal manera que cumplen una regla determinada.Término General: Se llama término general a la regla que sigue la sucesión. Índice: Se llama índice de un término a la posición que ocupa en la sucesión. (En nuestro ejemplo de los corredores será la posición en la que llega) 3.- Observa en la escena de la derecha la sucesión4.- ¿Cómo calcularías el término tercero, a3?  ¿Y si tuvieras que hacerlo tú sólo en tu cuaderno? 5.- ¿Que índica el subíndice de la a? 6.- Dada la sucesión      Calcula los términos primero, cuarto y vigésimo primero. Anota los resultados en tu cuaderno 1.3.- REPRESENTACIÓN DE UNA SUCESIÓN EN EL PLANO Para representar una sucesión en el plano vamos a poner los índices en el eje X y los términos en el eje Y, es decir, los puntos serían (n, an) 7.- Utiliza la escena de la derecha para ir representado los diez primeros términos de la sucesión dada.8.- Realiza los cálculos en tu cuaderno y comprueba que son los mismo. 9.- Dada la sucesión      Represéntala en tu cuaderno. Para ello calcula, por lo menos, los diez primeros términos. Anota en tu cuaderno TODAS las definiciones nuevas que has aprendido en este apartado, junto con los enunciados de los ejercicios que puedas realizar con la calculadora en tu cuaderno. DIC / 2011 Límite de Funciones Reales Límite de Funciones Reales Estudio del límite de funciones en un punto; comenzaremos dicho estudio analizando la gráfica de una función. Trataremos los teoremas referentes a los límites de funciones y los límites indeterminados Estudio de la continuidad de funciones. Límite de una función La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x). x se acerca al 1 por la izquierda  x se acerca al 1 por la derecha x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 f ( x) 2,71 2,9701 2,997001 ¿? 3,003001 3,0301 3,31 f (x) se acerca al 3  f (x) se acerca al 3 La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función  menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos  Definición de límite de una función Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una  tal que si  entonces  Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite Lconforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando xsuficientemente cerca de a pero no igual a a. En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que  exista.